勒出小说

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边扮纯求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。

函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数，我们希望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值，容易确定这个多项式就是
Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)
2!](x-x0)^2+…+
+[f
n
(x0)
n!](x-x0)^n
这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.
确定Pn(x)一点也不困难，困嫌液难的是证明泰勒公式的余项
Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f
n+1
(ξ)
(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0之间），这需要用n+1次柯西中值定理，

1. 常见泰勒展开

一定要注意泰勒展开的条件；

n阶可微函数 f(x)f(x) 在 x=ax=a 处的展开为： 

f(x)=f(a)0!+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯f(x)=f(a)0!+f′(a)1!(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+⋯

一般常取的在 x=0x=0 处的展开（也称作麦克劳林的展开）

将一个函数展开，当然最终仍是函数的形式。

f(x)f(x) nn 阶可微，则其 kk 阶导的展开形式为：fk(a)k!(x−a)kfk(a)k!(x−a)k，系数部分（fk(a)k!fk(a)k!）是确定的数值，芹缺物(x−a)k(x−a)k 是含有 xx 的项。

注意泰勒展开的条件。比如 (1+z)α(1+z)α 进行泰勒展开，要求|z|<1|z|<1。

(1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1(1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1

⇒

1(1+z)2=(1+z)−2=1−2z+3z2−4z3+⋯1(1+z)2=(1+z)−2=1−2z+3z2−4z3+⋯

⇒

1(1+1)2=1−2+3−4+5−6+⋯1(1+1)2=1−2+3−4+5−6+⋯

11−x=(1−x)−1=∑n=0∞xn for |x|<111−x=(1−x)−1=∑n=0∞xn for |x|<1

2. 泰勒展开的应用

2.1 做近似计算

估计立方根： 

6513=(1+64)1365****=(1+64)13

注意泰勒展开 (1+z)α(1+z)α 的条件要求 |z|<1|z|<1，所以此时，

6513=(1+64)13=4(1+164)13≈4(1+13⋅164)=4.0208...